复变函数论

Complex Function
以复数为自变量的函数叫做 复变函数,而与之相关的理论就为 复变函数论

一、复数与复变函数

基础知识

复变函数的基础复数
复数域中较为重要的公式欧拉公式
主要的研究对象复变函数
复变函数的导数

解析函数

复变函数中最为重要的概念或条件之一:解析
复数意义下重新审视:初等函数

二、复变函数的积分

复积分:复变函数沿路径的积分
柯西积分定理:解析函数在单连通区域内沿任意闭曲线的积分为零,揭示无旋性质
复合闭路定理:多连通区域中,解析函数沿外闭路的积分等于各内闭路积分之和
变上限积分定理:解析函数的积分上限函数仍解析,且导数等于被积函数
柯西积分公式:用边界值表示解析函数内部点的值,奠定级数展开基础
解析函数的高阶导数:解析函数的导数仍解析,且可由柯西公式递推求高阶导数
调和函数:满足拉普拉斯方程的实变函数

三、复级数

复数意义下的级数:复数项级数复变函数项级数
解析函数的幂级数展开: 泰勒级数(复数意义)
在圆环上解析的函数的幂级数展开: 洛朗级数

四、留数及其应用

留数基础:孤立奇点
留数定义和计算:留数
计算特殊形式的定积分:留数的应用